Question

△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，D是AB中点，点P由C沿CD方向运动，每秒钟移1个单位，若△APD的面积为y，点P移动时间为x秒，
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）多少秒后△APD的面积为2.4？

Answer 1

考点：一次函数的应用,三角形的面积,勾股定理的逆定理

专题：几何动点问题

分析：（1）先在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，根据勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，再由D是AB中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=

1

2

AB=2.5．设△ACD中CD边上的高为h．根据三角形中线的性质可知S_△ACD=

1

2

S_△ABC，由此列出方程

1

2

×2.5h=

1

2

×

1

2

×4×3，求出h=2.4．再根据CP=1•x=x，PD=CD-CP=2.5-x，根据三角形的面积公式即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）将y=2.4代入（1）中所求的关系式，解方程即可．

解答：解：（1）∵△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵D是AB中点，
∴CD=

1

2

AB=2.5．
设△ACD中CD边上的高为h．
∵S_△ACD=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×2.5h=

1

2

×

1

2

×4×3，
∴h=2.4．
∵CP=1•x=x，
∴PD=CD-CP=2.5-x，
∴y=

1

2

（2.5-x）×2.4=

72

25

-

6

5

x，
即y与x之间的函数关系式为y=

72

25

-

6

5

x；

（2）当△APD的面积为2.4时，

72

25

-

6

5

x=2.4，
解得x=0.4．
故0.4秒后△APD的面积为2.4．

点评：本题考查了一次函数的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，代数式求值，难度适中．求出△ACD中CD边上的高是解题的关键．