Question

18．如图，将四根长度相同的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时，如图①测得AC=5．当∠B=30°时，如图②，△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{25}{8}$
• B． $\frac{25}{16}$
• C． $\frac{25}{4}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 如图1，连接AC，由根据题意知AB=BC=CD=DA且∠B=90°可得四边形ABCD是正方形，则∠ACB=45°，由AC=5可得BC=ACcos∠ACB=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，再如图②，作AE⊥BC于E，由∠B=30°，求得AE，根据三角形的面积公式即可求得结论．

解答 解：如图1，连接AC，
根据题意知AB=BC=CD=DA，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∵AC=5，
∴BC=ACcos∠ACB=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
如图②，作AE⊥BC于E，
∵∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴△ABC的面积=BC•AE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{4}$=$\frac{25}{4}$，
故答案为：C．

点评 本题主要考查正方形的判定与含30°直角三角形的性质、三角形的面积公式，熟练掌握正方形的性质和得出BC的长是解题的关键．