Question

7．草莓进入采摘旺季，某公司以3万元/吨的价格向农户收购了20吨草莓，分拣出甲类草莓x吨，其余为乙类草莓，甲类草莓包装后直接销售，乙类草莓深加工后再销售．甲类草莓的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它每吨平均销售价格y（单位：万元）与销售量m（单位：吨）之间的函数关系为y=-x+14（2≤m≤8），乙类草莓深加工（不含进价）总费用S（单位：万元）与销售量n（单位：吨）之间的函数关系为S=3n+12，平均销售价格为9万元/吨．
（1）请直接写出该公司，购买和包装甲类草莓所需资金：4x万元．
购买和加工乙类草莓所需资金：132-6x万元
（2）若该公司将这20吨草莓全部售出，获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入-经营成本）
1）求出w关于x的函数关系式；
2）该公司的最小毛利润是多少？

Answer 1

分析 （1）甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为：4x万元；乙方式购买和加工其余农产品所需资金为：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）万元；
（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入-经营总成本=w_A+w_B-3×20；②由①中的函数解析式根据二次函数性质和一次函数的性质可得答案．

解答 解：（1）甲方式购买和包装x吨农产品所需资金为：4x万元；
乙方式购买和加工其余农产品所需资金为：3（20-x）+3（20-x）+12=（132-6x）万元；
故答案为：4x，（132-6x）；

（2）1）当2≤x＜8时，
w_甲=x（-x+14）-x=-x²+13x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
当x≥8时，
w_甲=6x-x=5x；
w_乙=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_甲+w_乙-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48．
2）∵当2≤x＜8时，w=-x²+7x+48=-（x-3.5）²+60.25，
∴当x=8时，w_最小=40；
当x≥8时，w=-x+48中w随x的增大而减小，
∴当x=8时，w_最小=40，
故当x=8时，利润最小为40万元．

点评 本题考查了二次函数、一次函数的综合应用题，解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．