Question

10．已知x₁，x₂，…，x₂₀₁₂都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：
（1）若y₁=$\frac{{|{x_1}|}}{x_1}$，则y₁=±1．
（2）若y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$，则y₂=±2或0；
（3）若y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{x2}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$，则y₃=±3，±1．
（4）由以上探究可知，在y₂₀₁₂这些不同的值中，最大值和最小值的差等于4024．
（5）y₂₀₁₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+…+$\frac{|{x}_{2012}|}{{x}_{2012}}$，则y₂₀₁₂共有2013个不同的值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（3）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（4）先求出在y₂₀₁₂这些不同的值中的最大值和最小值，再相减即可求解；
（5）根据观察，归纳，发现规律，可得答案．

解答 解：（1）x₁＜0时，y₁=$\frac{{|{x_1}|}}{x_1}$=-1，x₁＞0时，y₁=$\frac{{|{x_1}|}}{x_1}$=-1，则y₁=±1；
（2）若x₁＞0，x₂＞0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=2，
x₁＞0，x₂＜0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=0，
x₁＜0，x₂＜0时，y₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$=-2，
综上所述，y₂=±2或0；
（3）x₁＞0，x₂＞0，x₃＞0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{x2}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=3，
x₁＞0，x₂＞0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{x2}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=1
x₁＞0，x₂＜0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{x2}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=-1，
x₁＜0，x₂＜0，x₃＜0，y₃=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{x2}$+$\frac{|{x}_{3}|}{{x}_{3}}$=-3
综上所述，y₃=±1，±3；
（4）由以上探究可知，在y₂₀₁₂这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于2012-（-2012）=4024；
（5）由以上探究可知，y₂₀₁₂=$\frac{|{x}_{1}|}{{x}_{1}}$+$\frac{|{x}_{2}|}{{x}_{2}}$+…+$\frac{|{x}_{2012}|}{{x}_{2012}}$，则y₂₀₁₂共有2013个不同的值．
故答案为：±1；±2或0；±3或±1，4024；2013．

点评 本题考查了绝对值，利用了分类讨论的思想，发现规律是解题关键．