Question

19．在△ABC中，正方形DEFG的两个顶点E、F在BC边上，另两个顶点D、G分别在AB、AC上，△ADG和△CFG的面积均为1，△BDE的面积为3，求正方形DEFG的面积．

Answer 1

分析 过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，根据三角形面积公式求出BE=3b，CF=b，ab=2，推出b=$\frac{2}{a}$①，根据S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）求出a=2b②，由①②即可求出答案．

解答 解：过A作AM⊥BC于M，交DG于N，

设正方形DEFG的边长是a，AN=b，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴$\frac{1}{2}$ab=1，$\frac{1}{2}$BE•a=3，$\frac{1}{2}$CF•a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴S_△ADG+S_△BED+S_CFG=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab=1+3+1=5，
∴ab=2，
∴b=$\frac{2}{a}$①，
∵S_{正方形DEFG}=S_△ABC-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=$\frac{1}{2}$（BE+EF+CF）×（AN+MN）-（S_△ADG+S_△BDE+S_△CFG）
=$\frac{1}{2}$（a+4b）（a+b）-5=a²，
∴a=2b②，
由①②得：a=2，
即正方形的边长是2，
∴正方形DEFG的面积=4．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，正方形的性质的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．