Question

6．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；
（2）如图2，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；
（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；
（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；
（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．

解答 （1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F
∵B是弧AC的中点，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．
又∵AD为⊙O直径，
∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△DAB．
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{AD}$，故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•BC；

（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，
∴AF为⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
过O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$，
∴BC=DF=4．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．