Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；
（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC²+BC²=AB²，则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得M(

24

41

，0)．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=

1

2

x2+bx-2上，
∴

1

2

×(-1)2+b×(-1)-2=0，
解得 b=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2-

3

2

x-2．
∵y=

1

2

x2-

3

2

x-2=

1

2

(x-

3

2

)2-

25

8

，
∴顶点D的坐标为(

3

2

，-

25

8

)；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x=0时，y=-2，
∴C（0，-2），则OC=2．
当y=0时，

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，则B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∴AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则

b=2 3 2 a+b=- 25 8

，
解得a=-

41

12

，b=2，
∴yC′D=-

41

12

x+2．
当y=0时，-

41

12

x+2=0，则x=

24

41

，
∴M(

24

41

，0)．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法．