Question

已知，矩形ABCD中，BC=2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P在对角线BD上，连接AP，以点P为顶点作∠EPF=90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F．
（1）当∠PBA与∠PAB互余（如图a）时，求证：BE-

1

2

MF=

1

2

AB；
（2）当∠PBA与∠PAB相等（如图b）时，求证：BE、MF、AB间的数量关系为

 

．
（3）在（2）的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE：AF=2：3，EF=

85

，求DG的长．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）取AB的中点N，连接PN，PM，由∠PBA与∠PAB互余可以得出∠APB=90°，由直角三角形的性质就可以得出PN=BN=AN=

1

2

AB，AM=DM=PM=

1

2

AD，就可以得出∠NPE=∠MPF，∠NEP=∠MFP，就有△PNE∽△PMF，得出NE=

1

2

MF，就可以得出结论；
（2）取AB的中点N，连接PN，PM，由条件可以得出△PNE∽△PMF，得出NE=

1

2

MF，就可以得出结论BE-2MF=

1

2

AB；
（3）延长CD交FG于点H，设BE=2a，则AF=3a．由BE-2MF=

1

2

AB就可以求出AB=

8

3

a，进而得出AD=

16

3

a，AE=

2

3

a，FD=

7

3

a，在Rt△AEF中，由勾股定理可以求出a的值，再由△AEF∽△DHF和△GDH∽△GBE由相似三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）如图a，取AB的中点N，连接PN，PM．
∵∠PBA与∠PAB互余，
∴∠PBA+∠PAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴∠APD=90°．
∵N是AB的中点，M是AD的中点，
∴PN=BN=AN=

1

2

AB，AM=DM=PM=

1

2

AD．
∴∠NAP=∠NPA，∠MAP=∠MPA．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD，AD=BC．
∵BC=2AB，
∴AD=2AB，
∴

AB

AD

=

1

2

，
∴∠NAP+∠MAP=90°，
∴∠NPA+∠MPA=90°，
即∠NPM=90°．
∵∠EPF=90°，
∴∠NPM=∠EPF，
∴∠NPM-∠EPM=∠EPF-∠EPM，
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PBA+∠PAB=90°，∠BAP+∠DAP=90°，
∴∠ABP=∠DAP．
∵PN=BN，AM=PM，
∴∠ABP=∠PBA，∠DAP=∠MPA，
∴∠NEP=∠MFP．
∴△PNE∽△PMF，
∴

NE

MF

=

PN

PM

=

1 2 AB

1 2 AD

．
∵

NE

MF

=

1

2

，
∴NE=

1

2

MF．
∵BE-NE=BN，
∴BE-

1

2

MF=BN，
∵M是AD的中点，
∴AM=

1

2

AD，
∴AM=AB．
∵N是AB的中点，
∴BN=

1

2

AB，
∴BE-

1

2

MF=

1

2

AB．
（2）BE-2MF=

1

2

AB
理由：如图b，取AB的中点N，连接PN，PM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵∠PBA=∠PAB，
∴PA=PB．
∵N是AB的中点，
∴PN⊥AB，
∴∠ANP=90°．
∵∠PAB+∠PAD=90°，∠PBA+∠PBC=90°，
∴∠PAD=∠PBC，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD．
∵M是AD的中点，
∴PM⊥AD．
∴∠PMA=90°．
∴四边形PMAN是矩形，
∴∠NPM=90°．AN=PM，PN=AM．
∵∠EPF=90°
∴∠NPM=∠EPF，
∴∠NPM-∠EPM=∠EPF-∠EPM，
∴∠NPE=∠MPF．
∵∠PNE=∠PMF=90°，
∴△PNE∽△PMF，
∴

NE

MF

=

PN

PM

=

1 2 AD

1 2 AB

．
∵AD=2AB，
∴NE=2MF．
∵BE-NE=BN，
∴BE-2MF=BN，
∵N是AB的中点，
∴BN=

1

2

AB，
∴BE-2MF=

1

2

AB．
故答案为：BE-2MF=

1

2

AB；
（3）如图3，延长CD交FG于点H，设BE=2a，则AF=3a．
∵BE-2MF=

1

2

AB
∴BE-2（AF-AM）=

1

2

AB．
∵AM=AB，
∴2a-2（3a-AB）=

1

2

AB，
∴AB=

8

3

a，
∴AD=

16

3

a，AE=

2

3

a，FD=

7

3

a．
∵AE²+AF²=EF²，
∴（

2

3

a）²+（3a）²=（

85

）²，
解得：a₁=3，a₂=-3（舍去）．
∴AE=2，BE=6，AF=9，DF=7，BD=8

5

．
∵HD∥AB，
∴△AEF∽△DHF，
∴

DH

QE

=

DF

AF

，
∴

DH

2

=

7

9

，
∴DH=

14

9

．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
即HD∥BE．
∴△GDH∽△GBE，
∴

DG

BG

=

DH

BE

，
∴

DG

DG+8 5

=

14 9

6

，
∴DG=

14 5

5

．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时合理运用相似三角形的性质求解是关键．