Question

14．如图，△ABC为等边三角形，边长为1，D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，且AD=BE=CF．若AD=x，△DEF的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求△DEF的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）过F作AB的垂线，垂足为H，求得FH，得出△ADF的面积，利用△ABC的面积减去△ADF的面积的3倍得出△DEF的面积y即可；
（2）根据二次函数的最值公式，即可求出当x为何值时，△DEF的面积的最小值．

解答 解：（1）如图，

过F作AB的垂线，垂足为H，
∵∠A=60°，
∴FH=AF×sin60°=（1-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ADF的面积为-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$x
∴△DEF的面积y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）∵y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴当x=-$\frac{-\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{1}{2}$时，
y最小为$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
即△DEF的面积的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

点评 此题考查从实际问题中列出二次函数，二次函数的最值，等边三角形的性质，掌握三角形面积的计算方法是解决问题的关键．