Question

当直角三角形的直角顶点P在正方形ABCD对角线AC上运动（P与A、C不重合）且一直角边始终过点D，另一直角边与射线BC交于点E
（1）如图1，当点E与BC边相交时，
①证明：△PBE为等腰三角形；
②写出线段AP、PC与EC之间的等量关系

 

（并给出证明过程）
（2）当点E在BC的延长线上时，请完成图2，并判断（1）中的①、②结论是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（不必证明）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）①先求证△PBC≌△PDC得∠PBC=∠PDC，由∠BCD=∠DPE=90°，∠PEB=∠PDC，∠PEB=∠PBC即可证明PB=PE，即△PBE为等腰三角形；
②过E作EA′垂直于BC，交AC于A'，由平行线等分线段定理得PA=PA′，进一步利用等腰直角三角形的性质求得结论；
（2）类比于（1）的结论得出即可．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°，
在△PBC和△PDC中，

BD=DC ∠BCP=∠DCP=45° PC=PC

，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴∠PBC=∠PDC．
∵∠BCD=∠DPE=90°
∴∠PDC+∠PEC=180°，又∠PEB+∠PEC=180°
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB=∠PBC
∴PB=PE
∴△PBE为等腰三角形．
②EC=

PC-PA

2

证明：如图1，
过P作PF垂直于BC，过E作EA′∥PF交AC于A'，
∵BF=EF，EA′∥PF∥AB，
∴PA=PA′，
在△A′EC中∠A′EC=90°，∠A′CE=45°，
∴△A′EC为等腰直角三角形，
∴A′C=

2

CE，
∴EC=

PC-PA′

2

=

PC-PA

2

．

（2）结论①仍成立；
结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是EC=

PA-PC

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，考查了等腰三角形的判定，本题中求证∠PEB=∠PBC是解题的关键．