题目内容
如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）用含有t的代数式表示AE= ．
（2）当t为何值时，DQ=AP．
（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．
（4）直接写出：当DQ的长最小时，t的值．
（1）用含有t的代数式表示AE=
（2）当t为何值时，DQ=AP．
（3）如图2，当t为何值时，平行四边形AQPD为菱形．
（4）直接写出：当DQ的长最小时，t的值．
考点：相似形综合题
专题：
分析：（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可；
（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP，根据∠BAC的余弦函数的定义求解即可；
（4）根据点P、Q的运动特征结合DQ的长度的特征求解即可．
（2）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；
（3）当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP，根据∠BAC的余弦函数的定义求解即可；
（4）根据点P、Q的运动特征结合DQ的长度的特征求解即可．
解答：
解：（1）如图1，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．
∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE=
AP=5-t．
故答案是：5-t；
（2）如图1，当DQ=AP时，□AQPD是矩形．
则PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC
∴
=
，
解得 t=
∴当t=
时，DQ=AP；
（3）如图2，当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP
则cos∠BAC=
=
即
=
，
解得 t=
∴当t=
时，□AQPD是菱形；
（4）如图3，当DQ⊥AC时，DQ的长度最小．则
cos∠BAC=
=
，即
=
，
解得t=
．
∴当DQ的长最小时，t=
．
解：（1）如图1，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．∴由勾股定理得：AB=10cm，
∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，
∴BP=2tcm，
∴AP=AB-BP=10-2t，
∵四边形AQPD为平行四边形，
∴AE=
| 1 |
| 2 |
故答案是：5-t；
（2）如图1，当DQ=AP时，□AQPD是矩形．
则PQ⊥AC，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC
∴
| 2t |
| 10-2t |
| 8 |
| 10 |
解得 t=
| 20 |
| 9 |
∴当t=
| 20 |
| 9 |
（3）如图2，当□AQPD是菱形时，DQ⊥AP
则cos∠BAC=
| AE |
| AQ |
| AC |
| AB |
| 5-t |
| 2t |
| 4 |
| 5 |
解得 t=
| 25 |
| 13 |
∴当t=
| 25 |
| 13 |
（4）如图3，当DQ⊥AC时，DQ的长度最小．则
cos∠BAC=
| AQ |
| AE |
| AC |
| AB |
| 2t |
| 5-t |
| 4 |
| 5 |
解得t=
| 10 |
| 7 |
∴当DQ的长最小时，t=
| 10 |
| 7 |
点评：本题考查了相似形的综合知识，正确的利用平行四边形、矩形、菱形的性质得到正方形是解决本题的关键．此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大．
练习册系列答案
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| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
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|
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