Question

15．阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（4²+1）时，把3写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1．请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁴⁸+1）
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$．

Answer 1

分析 （1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；
（2）在前面乘一个2×（1-$\frac{1}{2}$），然后再连续利用平方差公式计算；
（3）把每个因式逆用平方差公式分解，然后根据乘法结合率和有理数的乘法计算即可．

解答 解：（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）
=2⁴⁰⁰⁸-1；
（2）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{2}$）$（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2^2}）（1+\frac{1}{2^4}）（1+\frac{1}{2^8}）+\frac{1}{{{2^{15}}}}$
=2×（1-$\frac{1}{{2}^{16}}$）+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{15}}$+$\frac{1}{{2}^{15}}$
=2；
（3）$（1-\frac{1}{2^2}）（1-\frac{1}{3^2}）（1-\frac{1}{4^2}）…（1-\frac{1}{{{{100}^2}}}）$
=（1-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$）（1-$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）…（1-$\frac{1}{100}$）（1+$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×…×$\frac{99}{100}$×$\frac{101}{100}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{101}{100}$，
=$\frac{101}{200}$．

点评 本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．