数学老师布置了这样一个问題:如果α.β都为锐角．且tanα=$\frac{1}{3}$.tanβ=$\frac{1}{2}$．求α+β的度数．甲.乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．(1)请你分别利用图1.图2求出α+β的度数.并说明理由,(2)请参考以上思考问题的方法.选择一种方法解决下面问题:如果α.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．数学老师布置了这样一个问題：
如果α，β都为锐角．且tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$．求α+β的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．
（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；
（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα=5，tanβ=$\frac{2}{3}$时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON=α-β．求出α-β的度数，并说明理由．

分析（1））①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB是等腰直角三角形．
②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED=α+β=45°．
（2）如图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β，只要证明△MFN≌△NHO即可解决问题．

解答解：（1）①如图1中，
在△AMC和△CNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=CN}\\{∠AMC=∠CNB=90°}\\{MC=BN}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CNB，
∴AC=BC，∠ACM=∠CBN，
∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴α+β=45°．
②如图2中，设正方形边长为1，则CE=1，AE=2，BE=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{EC}{BE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{EC}{BE}$=$\frac{BE}{AE}$，
∵∠CEB=∠AEB
∴△CEB∽△BEA，
∴∠CAB=∠CBE=α，
∵∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β，
∵DE=DB，∠D=90°，
∠BED=45°，
∴α+β=45°．
（2）如图3中，∠MOE=α，∠NOH=β，∠MON=α-β．
在△MFN和△NHO中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=NH}\\{∠MFN=∠NHO}\\{FN=OH}\end{array}\right.$，
∴△MFN≌△NHO，
∴MN=NO，∠MNF=∠NOH，
∵∠NOH+∠ONH=90°，
∴∠ONH+∠MNF=90°，
∴∠MNO=90°，
∴∠NOM=∠NMO=45°，
∴α-β=45°．