Question

3．由菱形ABCD向外作四个正方形，若菱形ABCD与八边形的面积之比为1：11，则这个八边形每个内角的度数分别是105°，165°．

Answer 1

分析 连接AC，BD，根据菱形的性质得到AD=AB=CD=BC，∠DAB+∠ADC=180°，根据正方形的性质得到AA₁=AA₂=AD=AB=DD₂=DD₁，∠A₂AB=∠A₁AD=∠D₁DC=90°，推出△A₁AA₂≌△ADC，同理△₂CC₁≌△ADC，△B₁BB₂≌△ADB≌△D₁DD₂，于是得到S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，过D作DE⊥AB与E，设菱形的边长为a，得到DE=$\frac{1}{2}$AD，求得∠DAB=30°，得到∠ADC=150°，于是得到结论．

解答 解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠DAB+∠ADC=180°，
∵四边形A₁ADD₂，四边形AA₂B₁B，四边形DD₁C₂C是正方形，
∴AA₁=AA₂=AD=AB=DD₂=DD₁，∠A₂AB=∠A₁AD=∠D₁DC=90°，
∴∠A₁AA₂+∠DAB=180°，
∴∠A₁AA₂=∠ADC，
在△A₁AA₂与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=AD}\\{∠{A}_{1}A{A}_{2}=∠ADC}\\{A{A}_{2}=AB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AA₂≌△ADC，
同理△₂CC₁≌△ADC，△B₁BB₂≌△ADB≌△D₁DD₂，
∴S${\;}_{△{A}_{1}A{A}_{2}}$+S${\;}_{△{C}_{1}C{C}_{2}}$+S${\;}_{{B}_{1}B{B}_{2}}$+S${\;}_{△{D}_{1}D{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，
∵菱形ABCD与八边形的面积之比为1：11，
∴S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，
过D作DE⊥AB与E，
设菱形的边长为a，
∴S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=a²=2S_菱形ABCD=2a•DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$a，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=150°，
∴∠A₁AA₂=150°，∠D₂DD₁=30°，
∴∠AA₁A₂=15°，∠DD₂D₁=75°，
∴八边形每个内角的度数分别是105°，165°．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．