Question

14．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DF、EF．求证：DF=EF．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，利用“HL”证明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，再利用“边角边”证明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．

解答 证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{PD=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），
∴OD=OE，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOF=∠EOF，
在△ODF和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠DOF=∠EOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△ODF≌△OEF（SAS），
∴DF=EF．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，二次证明三角形全等是解答此题的关键．