Question

19．平行四边形ABCD中，CD=8，∠C=60°，点P为边BC上一动点，连接DP，作∠ADP的平分线交CB的延长线于F．
（1）求证：PD=PF；
（2）若DP⊥CB，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠ADF=∠F，再由角平分线定义证出∠F=∠PDF，即可得出PD=PF；
（2）由（1）得：PD=PF，由DP⊥CB，∠C=60°，得出△PDF是等腰直角三角形，∠PDC=30°，得出CP=$\frac{1}{2}$CD=4，由勾股定理求出PF=PD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{P}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，得出DF=$\sqrt{2}$PD=4$\sqrt{6}$即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠F，
∵DF平分∠ADP，
∴∠ADP=∠PDF，
∴∠F=∠PDF，
∴PD=PF；
（2）解：由（1）得：PD=PF，
∵DP⊥CB，∠C=60°，
∴△PDF是等腰直角三角形，∠PDC=90°-60°=30°，
∴CP=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴PF=PD=$\sqrt{C{D}^{2}-C{P}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{2}$PD=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出PD是解决问题（2）的关键．