Question

3．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P从点D出发，沿边DC，CB，BA运动（点P与A重合时停止运动）．设P点运动的速度为1cm/s．
①求△APD的面积y关于时间t的函数关系式；
②分别求t=4和10时，y的值；
③t为何值时，△APD面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 ①分三种情况分别计算△APD的面积y：
i）当P在DC上时，0≤t≤4，如图1，
ii）当P在BC上时，4＜t≤8，如图2，
iii）当P在AB上时，8＜t≤12，如图3，
②分别代入①中对应的y与t的关系式中，求出即可；
③分别根据三种情况的关系式的增减性讨论可得结论．

解答 解：①分三种情况：
i）当P在DC上时，0≤t≤4，如图1，
由题意得是：PD=t，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•PD=$\frac{1}{2}$×4t=2t；
ii）当P在BC上时，4＜t＜8，如图2，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
iii）当P在AB上时，8≤t≤12，如图3，
由题意得：DC+BC+BP=t，则AP=12-t，
∴y=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×4×（12-t）=2（12-t）=-2t+24；
综上所述，y关于时间t的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0≤t≤4）}\\{8（4＜t＜8）}\\{-2t+24（8≤t≤12）}\end{array}\right.$；

②当t=4时，y=2t=2×4=8cm²；
当t=10时，y=-2t+24=-2×10+24=4cm²；
③当0≤t≤4时，t=4时，y有最大值为8，
当4＜t＜8时，y_大=8，
当8≤t≤12，y=-2t+24，
∵-2＜0，
∴y随t的增大而减小，
∴当x=8时，y有最大值是8，
综上所述，当4≤t≤8时，△APD面积最大，最大面积是8cm²．

点评 本题是四边形和函数的综合题，考查了正方形的性质、三角形的面积、动点运动问题、一次函数的最值问题，难度适中，正确表示不同时间段点P运动的路程是关键，注意利用数形结合的思想解决问题．