Question

14．已知：抛物线C₁：y=x²-2a x+2a+2 顶点P在另一个函数图象C₂上，（1）求证：抛物线C₁必过定点A（1，3）；并用含的a式子表示顶点P的坐标；
（2）当抛物线C₁的顶点P达到最高位置时，求抛物线C₁解析式；并判断是否存在实数m、n，当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，若存在，求出求m、n的值；若不存在，说明理由；
（3）抛物线C₁和图象C₂分别与y轴交于B、C点，当△ABC为等腰三角形，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由不论a为任何值，x=1时y=3可得其必过点A（1，3），将函数解析式配方成顶点式可得点P坐标；
（2）由y_P=-a ²+2a+2=-（a-1）²+3≤3可得当a=1时，P达到最高位置（1，3），由m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n得3≤3m≤y≤3n，即1≤m≤n，据此知1≤m≤x≤n时y随x的增大而增大，由当x=m时y=3m，当x=n时y=3n列方程组求解得出答案；
（3）根据题意表示出B、C的坐标，得出AC=$\sqrt{2}$，BC=|2a|，AB²=（2a-1）²+1，由等腰三角形的定义分①AC=BC、②BC²=AB²、③AC²=AB²三种情况讨论，列方程解之可得．

解答 解：（1）∵当x=1时，y=1-2a+2a+2=3，
∴抛物线C₁必过定点A（1，3），
∵抛物线C₁：y=x²-2ax+2a+2=（x-a）²-a ²+2a+2，
∴顶点P（a，-a ²+2a+2）；

（2）∵y_P=-a ²+2a+2=-（a-1）²+3≤3
∴当a=1时，P达到最高位置（1，3）
此时抛物线C₁解析式为y=x²-2x+4，
∴y=x²-2x+4=（x-1）²+3≥3，
∵当m≤x≤n时恰有3m≤y≤3n，
∴3≤3m≤y≤3n，
∴1≤m≤n，
∴当1≤m≤x≤n，y随x的增大而增大，
∴当x=m时，y=3m，当x=n时，y=3n，
则$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m+4=3m}\\{{n}^{2}-2n+4=3n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1或m=4}\\{n=1或n=4}\end{array}\right.$，
∵1≤m≤n，
∴m=1、n=4；

（3）∵抛物线C₁：y=x²-2ax+2a+2与y轴交于B点
∴B（0，2a+2）
∵函数y_P=-x ²+2x+2图象C₂与y轴交于C点
∴C（0，2）
∵A（1，3）
∴由勾股定理得AC=$\sqrt{2}$，BC=|2a|，AB²=（2a-1）²+1
∵△ABC为等腰三角形，
∴①AC=BC  ②BC²=AB²   ③AC²=AB²
∴$\sqrt{2}$=|2a|或4a²=（2a-1）²+1或2=（2a-1）²+1，
∴$a=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$a=\frac{1}{2}$或a=1或a=0（B与C重合，舍去），
即a=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=$\frac{1}{2}$或a=1．

点评 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质，根据等腰三角形的定义分类讨论是解题的关键．