Question

【题目】一个三位自然数（百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为）. 若满足，则称这个三位数为“和悦数”，并规定. 如231，因为它的百位上的数字2与个位上的数字1之和等于十位上的数字3. 所以231是“和悦数”，所以.

（1）请任意写出两个“和悦数”，并猜想任意一个“和悦数”是否是11的倍数，请说明理由；

（2）已知有两个十位上的数字相同的“和悦数”，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）例如：253，374都是和悦数，任意一个“和悦数”是11的倍数，理由见详解； （2）99或495

【解析】

(1)根据“和悦数”的定义，用代数式表示和悦数，即可得到结论；

(2)设m=，n=，由，得，从而得或，即==，进而得到答案.

（1）例如：253，374都是和悦数，任意一个“和悦数”是11的倍数，理由如下：

设是和悦数，则，

∴=100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10a+c)，

∴任意一个“和悦数”是11的倍数；

（2）设m=，n=，

∵，

∴

=

=，

∵ 都是整数，，

∴或，

∵=

=，

∵，

∴=

=，

∴=99或495.