题目内容
【题目】如图，以
为直径作半圆
，点
是半圆弧的中点，点
是
上的一个动点（点不与点
、重合），
交
于点
，延长
、
交于点
，过点作
，垂足为
.
（1）求证：
是
的切线；
（2）若的半径为1，当点运动到的三等分点时，求
的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
或
【解析】
（1）连接
，根据同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角等于90°和等弧所对的弦相等可得：
，
，
，从而证出
≌
，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ACF和∠ACO，从而求出∠OCF，即可证出结论；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，再根据一个弧有两个三等分点分类讨论：情况一：当点
为靠近点
的三等分点时，根据三等分点即可求出
，再根据锐角三角函数即可求出CE，从而求出AE；情况二：当点为靠近点
的三等分点时，根据三等分点即可求出
，从而求出AP，再推导出∠PDE=30°，设
，用
表示出DE、CE和AE的长，从而利用勾股定理列出方程即可求出，从而求出AE.
（1）证明：连接
∵
为
的直径
∴
∴
根据同弧所对的圆周角相等可得，
又∵是
的中点
∴
∴
在与中
∴≌
∴
又∵
∴
平分
∴
∵，
为的中点
∴
平分
∴
∴
∴
∴为的切线
（2）证明：如图2
∵的半径为1
∴
又∵
，
∴
情况一：如图2
当点为靠近点的三等分点时
∵点是
的三等分点
∴
∴
在Rt△BCE中，
∴
情况二：如图3
当点为靠近点的三等分点时
∵点是的三等分点
∴
∴
∴
又∵
∴
又∵
，
∴
∴
∴
∴
设，则
∴
∴
又∵
∴
即
解出：
或
（应小于
，故舍去）
∴
综上所述：或
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