Question

11．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在?ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：
（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在?ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在?ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，在AD、BC上分别截取AF=BE=4，连结EF，则四边形ABEF是菱形；
如图2，连结BD，作BD的垂直平分线，交AD于E，BC于F，则四边形BEDF是菱形；
（2）如图1，作?ABCD的高AH，根据菱形的面积=底×高列式计算即可；
如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2$\sqrt{3}$．分别求出BD与EF，根据菱形的面积=两对角线乘积的一半列式计算即可．

解答 解：（1）如图所示：


（2）如图1，作?ABCD的高AH．
在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，BH=AB•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴S_菱形ABEF=BE•AH=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2$\sqrt{3}$．
在直角△BDM中，∵∠M=90°，
∴BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（6+2）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{19}$．
设BF=x，CF=y，则DF=x，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{{x}^{2}=（y+2）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{19}{4}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴OF=$\sqrt{B{F}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{19}{4}）^{2}-（\sqrt{19}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{57}}{4}$，
∴S_菱形ABEF=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{19}$×$\frac{\sqrt{57}}{2}$=$\frac{19\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，作图-复杂作图，熟练掌握定理是解题的关键．