Question

如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）若将等腰梯形ABCD向上平移，使平移后的点B落在双曲线上，则应将梯形向上平移几个单位长度？
（3）画出反比例函数在第三象限的草图，若直线AD交双曲线于E，F两点，请求出△EOF的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）过C作CM垂直于x轴，由等腰梯形ABCD，得到AD=BC，OD=CM，利用HL得到直角三角形AOD与直角三角形BMC全等，利用全等三角形对应边相等得到OA=BM，求出OM与CM的长，确定出C坐标，设反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），将C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过B作BN垂直于x轴，与反比例图象交于点N，可得出B与N横坐标相同，将x=6代入反比例解析式求出y的值，即为平移的长度；
（3）画出反比例函数在第三象限图象，如图所示，连接OE，OF，联立直线AD与反比例解析式求出E与F坐标，三角形EOF面积=三角形AOE面积+三角形AOF面积，求出即可．

解答：解：（1）过C作CM⊥x轴，交x轴于点M，可得∠AOD=∠BMC=90°，
∵等腰梯形ABCD，
∴AD=BC，OD=CM，
在Rt△AOD和Rt△BMC中，

AD=BC OD=CM

，
∴Rt△AOD≌Rt△BMC（HL），
∴BM=OA=2，CM=OD=3，
∴OM=OB-BM=6-2=4，
∴C（4，3），
设反比例解析式为y=

k

x

（k≠0），
将C坐标代入得：k=12，
则反比例解析式为y=

12

x

；
（2）过B作BN⊥x轴，与反比例图象交于N点，
将x=6代入y=

12

x

得：y=2，
则将等腰梯形ABCD向上平移，使平移后的点B落在双曲线上，则应将梯形向上平移2个单位长度；
（3）如图所示，连接OE，OF，
设直线AD解析式为y=ax+b，
将A（-2，0），D（0，3）代入得：

-2a+b=0 b=3

，
解得：

a= 3 2 b=3

，
∴直线AD解析式为y=

3

2

x+3，
联立得：

y= 3 2 x+3 y= 12 x

，
消去y得：

3

2

x+3=

12

x

，
整理得：x²+2x-8=0，即（x-2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=-4，
将x=2代入得：y=6；将x=-4代入得：y=-3，
∴E（2，6），F（-4，-3），
则S_△EOF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

×2×6+

1

2

×2×3=6+3=9．

点评：此题属于反比例综合题，涉及的知识有：等腰三角形的性质，“HL”证明全等的方法，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．