题目内容
如图1，抛物线y=ax2+bx-1经过A（-1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
（2）如图1，当点P的横坐标为
时，求证：△OBD∽△ABC．
（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．
（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．
（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．
（2）如图1，当点P的横坐标为
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（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．
（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．
考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质
专题：压轴题,分类讨论
分析：（1）待定系数法即可求得；
（2）先把P点的横坐标代入直线y2=
x-1，求得DE=
，从而求得DE=OE，得出∠EOD=45°，因为∠OAC=∠EOD=45°，∠OBD=∠ABC，即可求得△OBD∽△ABC；
（3）分三种情况：当OD=CD时，则
m2-m+1=
m2，当OD=OC时，则
m2-m+1=1，当OC=CD时，则
m2=1，分别求解，即可求得．
（2）先把P点的横坐标代入直线y2=
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（3）分三种情况：当OD=CD时，则
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解答：解：（1）由抛物线y=ax2+bx-1可知C（0，-1），
∵y=ax2+bx-1经过A（-1，0）、B（2，0）两点，
∴
，
解得
∴抛物线表达式：y1=
x2-
x-1；
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
，
解得
．
∴直线BC的表达式：y2=
x-1．
（2）如图1，当点P的横坐标为
时，把x=
代入y2=
x-1，
得y2=
×
-1=-
，
∴DE=
又∵OE=
，
∴DE=OE
∵∠OED=90°
∴∠EOD=45°
又∵OA=OC=1，∠AOC=90°
∴∠OAC=45°
∴∠OAC=∠EOD
又∵∠OBD=∠ABC
△OBD∽△ABC．
（3）如图2，设点P的坐标为P（x，
x2-
x-1）
∴OE=x，PE=|
x2-
x-1|=-
x2+
x+1
又∵OE=2PE
∴x=2(-
x2+
x+1)
解得x1=
，x2=-
（不合题意舍去），
∴P、D两点坐标分别为P(
，-
)，D(
，
)，
∴PD=
-(-
)=
-1
OE=
∴S△POD=
•PD•OE=
•(
-1)•
=
，
（4）P1（1，-1），P2(
，-
)，P3(
，
)，P4(-
，
)．
设D（m，
m-1），
则OD2=m2+（
m-1）2=
m2-m+1，
OC2=1，CD2=m2+（-1-
m+1）2=
m2，
当OD=CD时，则
m2-m+1=
m2，解得m1=1，
当OD=OC时，则
m2-m+1=1，解得m2=
，
当OC=CD时，则
m2=1，解得m3=
，m4=-
，
∴P1（1，-1），P2(
，-
)，P3(
，
)，P4(-
，
)．
∵y=ax2+bx-1经过A（-1，0）、B（2，0）两点，
∴
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解得
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∴抛物线表达式：y1=
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| 2 |
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
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解得
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∴直线BC的表达式：y2=
| 1 |
| 2 |
（2）如图1，当点P的横坐标为
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| 3 |
代入y2=
| 1 |
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得y2=
| 1 |
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| 2 |
| 3 |
∴DE=
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| 3 |
又∵OE=
| 2 |
| 3 |
∴DE=OE
∵∠OED=90°
∴∠EOD=45°
又∵OA=OC=1，∠AOC=90°
∴∠OAC=45°
∴∠OAC=∠EOD
又∵∠OBD=∠ABC
△OBD∽△ABC．
（3）如图2，设点P的坐标为P（x，
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∴OE=x，PE=|
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又∵OE=2PE
∴x=2(-
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解得x1=
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∴P、D两点坐标分别为P(
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∴PD=
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OE=
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∴S△POD=
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（4）P1（1，-1），P2(
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-3-
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-3+
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设D（m，
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则OD2=m2+（
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OC2=1，CD2=m2+（-1-
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当OD=CD时，则
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当OD=OC时，则
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当OC=CD时，则
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2
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∴P1（1，-1），P2(
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-3+
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点评：本题考查了待定系数法求解析式、三角形相似的判定以及分类讨论的思想的应用．
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如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（-2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．