Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：

（应用）问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：

（1）填空：线段AB的长度d＝　 　；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是　 　；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”）　 　；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是　 　；

（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝　 　，该函数图象与⊙O的位置关系是　 　．

（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．

Answer 1

【答案】抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；（1）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相离或相切或相交；（3）相应S的取值范围为S＞c2．

【解析】

将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；

（1）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和1．5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；

（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；

（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），

∴y＝ax2+5，

将点（﹣3，）代入，

得＝a×（﹣3）2+5，

∴a＝ ，

∴抛物线的解析式为：y＝ ；

（1）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），

在y＝，当y＝0时，x1＝2，x2＝﹣2，

∴M（2，0），

即当x＝2时，S＝0，

∴d的值为2；

∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；

当S＝3 时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，

∴a（2﹣a）＝3，

整理，得a2﹣2a+6＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，

∴方程无实数根；

当S＝1.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，

∴a（2﹣a）＝1.5，

整理，得a2﹣2a+3＝0，

解得，

∴当a＝时，2﹣a＝，

当a＝时，2﹣a＝，

∴若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是和；

故答案为：2，0＜x＜2，不能，和；

（2）设AC＝y，CB＝x，

则y＝﹣x+2，如图1所示的线段PM，

则P（0，2），M（2，0），

∴△OPM为等腰直角三角形，

∴PM＝OP＝2，

过点O作OH⊥PM于点H，

则OH＝PM＝，

∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；

当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；

当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；

故答案为：，相离或相切或相交；

（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，

则 ，

∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，

∴（x﹣c）2＝c2+2ab，

∴，

即S＝，

∴x的取值范围为：x＞c，

则相应S的取值范围为S＞．