Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E，交AC于F，FG⊥AD于G，求证：AB=BD+FG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：作FQ⊥BC，即可判定四边形DGFQ为矩形，可得FG=DQ，易证Rt△ABF≌Rt△QBF和Rt△HBE≌Rt△DBE，可得AB=BQ，BH=BD，即可解题．

解答：证明：作FQ⊥BC，

∵AD⊥BC，FG⊥AD，
∴四边形DGFQ为矩形，
∴FG=DQ，
∵BF平分∠ABC交AD于E，
∴AF=FQ，EH=ED，
在Rt△ABF和Rt△QBF中，

BF=BF AF=FQ

，
∴Rt△ABF≌Rt△QBF（HL），
∴AB=BQ，
在Rt△HBE和Rt△DBE中，

BE=BE EH=ED

，
∴Rt△HBE≌Rt△DBE（HL），
∴BH=BD，
∵BQ=BD+DQ，
∴AB=BD+FG．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△ABF≌RT△QBF和RT△HBE≌RT△DBE是解题的关键．