Question

如图，点O是四边形AEBC外接圆的圆心，点O在AB上，点P在BA的延长线上，且∠PEA=∠ADE，CD⊥AB于点H，交⊙O于点D．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）若D为劣弧

BE

的中点，且AH=16，BH=9，求EG的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）作直径EM，连结AM，如图1，根据圆周角定理，由EM为直径得到∠EAM=90°，∠M=∠ADE，则∠M+∠AEM=90°，加上∠PEA=∠ADE，易得∠PEA+∠AEM=90°，于是根据切线的判定定理得到PE是⊙O的切线；
（2）连结OD交BE于F，如图2，由AH=16，BH=9得到OA=

25

2

，则OH=AH-OA=

7

2

，根据垂径定理由D为劣弧

BE

的中点得到OD⊥BE，BF=EF，再证明△OBF≌△ODH，得到OF=OH=

7

2

，则DF=OD-OF=9，接着在Rt△OBF中根据勾股定理计算出BF=12，所以EF=12，利用OF为△ABE的中位线得到AE=2OF=7，然后证明△AEG∽△DFG，利用相似比得到

EG

GF

=

AE

DF

=

7

9

，于是有EG=

7

16

EF=

21

4

．

解答：（1）证明：作直径EM，连结AM，如图1，
∵EM为直径，
∴∠EAM=90°，
∴∠M+∠AEM=90°，
∵∠M=∠ADE，
而∠PEA=∠ADE，
∴∠PEA+∠AEM=90°，即∠PEM=90°，
∴PE⊥EM，
∴PE是⊙O的切线；
（2）解：连结OD交BE于F，如图2，
∵AH=16，BH=9，
∴OA=

25

2

，
∴OH=AH-OA=

7

2

，
∵CD⊥AB，
∴∠OHD=90°，
∵D为劣弧

BE

的中点，
∴OD⊥BE，BF=EF，
∴∠OFB=90°，
在△OBF和△ODH中，

∠BFO=∠DHO ∠FOB=∠HOD OB=OD

，
∴△OBF≌△ODH（AAS），
∴OF=OH=

7

2

，
∴DF=OD-OF=9，
在Rt△OBF中，∵OF=

7

2

，OB=

25

2

，
∴BF=

OB2-OF2

=12，
∴EF=12，
∵OF为△ABE的中位线，
∴AE=2OF=7，
∵OF∥AE，
∴△AEG∽△DFG，
∴

EG

GF

=

AE

DF

=

7

9

，
∴EG=

7

16

EF=

7

16

×12=

21

4

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．