Question

12．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE，解答下列问题：
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）记AB=a，BF=b，若a，b是方程x²-2（m+1）x+m²+1=0的两根，问当m为何值时，菱形AECF的周长为8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由FE⊥AC，即可得出结论．
（2）由勾股定理和根与系数的关系得出方程，解方程求出m=1或m=-5，再由根的判别式即可得出m的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形．
（2）解：在△ABF中，∵∠ABF=90°，
∴AB²+BF²=AF²，
∴AF²=a²+b²=（a+b）²-2ab，
由根与系数的关系得：a+b=2（m+1），ab=m²+1，
∴AF²=[2（m+1）]²-2（m²+1）=2m²+8m+2，
∵菱形AECF的周长为8$\sqrt{3}$，
∴AF=2$\sqrt{3}$，
∴2m²+8m+2=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：m=1或m=-5，
∵原方程有实数根，则△≥0，
∴[-2（m+1）]²-4（m²+1）≥0，
∴m=-5不合题意，舍去，
∴m=1，
即当m=1时，菱形AECF的周长为8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根与系数的关系以及根的判别式；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．