Question

17．已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A，经过点B（0，3）和点（2，3），与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），且OD=OB．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接AB，BD，DA，试判断△ABD的形状；
（3）点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，△BPD的面积最大？求出此时点P的坐标及△BPD的面积．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标可知OB=3，OD=3，故此可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先由抛物线的解析式求得点A的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可
（3）如图所示：连结OP．设点P的坐标为（x，-x²+2x+3）．依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积-△BOD的面积，列出△DBP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）∵B（0，3）和点（2，3）的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x=1，OB=3．
∵OD=OB，
∴OD=3．
∵抛物线与x轴交于C，D两点，（点C在点D的左侧），
∴D（3，0）．
将点B（0，3）、（2，3）、（3，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4a+2b+c=3}\\{9a+3b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点A的坐标为（1，4）．
依据两点间的距离公式可知：AB²=（1-0）²+（4-3）²=2，AD²=（3-1）²+（4-0）²=20，BD²=（3-0）²+（0-3）²=18，
∴AB²+BD²=AD²．
∴△ABD为直角三角形．
（3）如图所示：连结OP．

设点P的坐标为（x，-x²+2x+3）．
△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积-△BOD的面积
=$\frac{1}{2}$×3×x+$\frac{1}{2}$×3×（-x²+2x+3）-$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△DBP的面积最大，最大值为$\frac{27}{8}$．
将x=$\frac{3}{2}$代入抛物线的解析式得y=$\frac{15}{4}$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，勾股定理的逆定理，列出△DBP的面积与x的函数关系式是解题的关键．