Question

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，
（1）求证：BD+DE=AC；
（2）若AC=9cm，求△DBE的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）由AD为角平分线，且DE垂直于AB，DC垂直于AC，利用角平分线定理得到DE=DC，由CD+DB=BC，等量代换得到BD+DE=BC，再由C=AB，等量代换即可得证；
（2）由三角形ABC为等腰直角三角形，得到∠B=45°，得到三角形DEB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得到BD=

2

DE=

2

BE，根据（1）的结论求出DE与BD的长，即可确定出三角形DEB的周长．

解答：解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵AC=BC，BC=BD+DC，
∴DE+DC=AC；
（2）∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴△DEB为等腰直角三角形，
∴BD=

2

DE=

2

BE，
∵BC=AC=BD+CD=BD+DE=9cm，
∴

2

DE+DE=9，即DE=

9

2 +1

=9（

2

-1）cm，
则△BDE周长为DE+BE+BD=18（

2

-1）+9

2

（

2

-1）=18

2

-18+18-9

2

=9

2

cm．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．