Question

如图，△ABC中，AB=3，AC=2

2

，∠A=∠BCD=45°，求BC的长及S_△BDC．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：作CE⊥AD，DG⊥CB分别于点E和G，在直角△ACE中利用三角函数求得AE和CE的长，则BE即可求得，然后再在直角△BCE中利用勾股定理求得BC的长；证明△CEB∽△DBG，即可求得DG和BG的比值，然后根据△CDG是等腰直角三角形，即可求得DG的长，利用三角形的面积公式即可求解．

解答：解：作CE⊥AD，BF⊥CD，DG⊥CB分别于点E、F和G．
∵在直角△ACE中，AC=2

2

，∠A=45°，
∴AE=AC•cosA=2

2

×

2

2

=2，则AE=CE=2，BE=AB-AE=3-2=1．
∴在直角△BCE中，BC=

BE2+EC2

=

5

．
∵△BCE和△BDG中，∠CEB=∠DGB，∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB∽△DBG，
∴

DG

BG

=

CE

BE

=2，
则设BG=x，则DG=2x．
∵在直角△CDG中，∠BCD=45°，
∴CG=DG，即

5

+x=2x，
解得：x=

5

．则DG=CG=2

5

，
∴S_△BDC=

1

2

BC•DG=

1

2

×

5

×2

5

=5．

点评：考查了解直角三角形，本题是三角函数以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得DG的长是本题的关键．