Question

8．如图，直角坐标平面内有两点A（$\sqrt{3}$，1），B（1，$1\sqrt{3}$），将△AOB绕点O逆时针方向旋转150°得到△A′OB′，则线段AB的中点M所经过的路线长为$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．

Answer 1

分析 首先根据中点坐标公式求出线段AB的中点M的坐标，再根据旋转的性质可知M所经过的路线是以O为圆心，圆心角为150°的一段圆弧，利用弧长公式即可求解．

解答 解：∵A（$\sqrt{3}$，1），B（1，$1\sqrt{3}$），
∴线段AB的中点M的坐标是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
∴OM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}+1}{2}）^{2}+（\frac{1+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转150°得到△A′OB′，
∴线段AB的中点M所经过的路线长为$\frac{150π×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{180}$=$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．
故答案为$\frac{5\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{12}$π．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，中点坐标公式，弧长的计算公式，根据旋转的性质得出线段AB的中点M的运动轨迹是解题的关键．