Question

17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求运动时间t的取值范围；
（2）整个运动过程中，以点P、O、Q为顶点的三角形与Rt△AOB有几次相似？请直接写出相应的t值．
（3）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意求出OB的长，得到运动时间t的取值范围；
（2）分Rt△POQ∽Rt△AOB和Rt△POQ∽Rt△BOA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）用t表示出△POQ的面积，根据二次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（8，0），
∴OB=8，
∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，
∴t≤4，
则运动时间t的取值范围为：0≤t≤4；
（2）由题意得，AP=t，OP=6-t，OQ=2t，
①当Rt△POQ∽Rt△AOB时，$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OQ}{OB}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
解得，t=$\frac{12}{5}$，
②当Rt△POQ∽Rt△BOA时，$\frac{OP}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$，
即$\frac{6-t}{8}$=$\frac{2t}{6}$，
解得，t=$\frac{18}{11}$，
则当t=$\frac{12}{5}$或$\frac{18}{11}$时，以点P、O、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似，即相似两次；
（3）△POQ的面积=$\frac{1}{2}$×OP×OQ=$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∴当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及二次函数的最大值的求法是解题的关键．