Question

12．下列说法正确的个数是（　　）
①若mx=nx，则m=n；
②若△ABC中，sinA=$\frac{1}{2}$，则∠A=30°；
③一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等；
④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
⑤分式方程$\frac{3}{{x}^{2}-x}$$+\frac{6}{1-{x}^{2}}$=$\frac{7}{{x}^{2}+x}$的增根是0和1、-1；
⑥若n可以取从1到2016之间的正整数（包括1与2016），则二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段之和为$\frac{2016}{2017}$．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 把错误的命题举出反例或者说出原因，正确的命题进行说明或推导，从而可以解答本题．

解答 解：∵若x=0时，则mx=nx，此时m、n可以为任意数，故①错误；
∵sin30°=$\frac{1}{2}$，在△ABC中，sinA=$\frac{1}{2}$，∴∠A=30°，故②正确；
∵四边形内角和等于360°，∴一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角互补，故③错误；
等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，腰上的高、中线、角平分线不一定重合，故④错误；
分式方程$\frac{3}{{x}^{2}-x}$$+\frac{6}{1-{x}^{2}}$=$\frac{7}{{x}^{2}+x}$如果有增根，则x（x-1）（x+1）=0，得x=0或x=1或x=-1，故⑤正确；
∵（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
解得，x=$\frac{1}{n}$或x=$\frac{1}{n+1}$，
∴二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段长为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴若n可以取从1到2016之间的正整数（包括1与2016），则二次函数y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1的图象在x轴上所截得的线段之和为：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$
=$\frac{2016}{2017}$，
故⑥正确；
故选D．

点评 本题考查命题与定理，解题的关键是明确题意，可以对错误的命题举出反例或说明原因，正确的命题进行说明或推导．