Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD．
（1）求证：△DOB∽△ACB；
（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；
（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB；
（2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出$\frac{OB}{BD}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD．

解答 （1）证明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DC=DO}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL），
∴AC=AO=6，
设BD=x，则DC=DO=8-x，OB=AB-AO=4，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO²+OB²=BD²，
即（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴BD的长为5；
（3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称，
∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠B为锐角，
∴∠OB′D也为锐角，
∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴$\frac{OB}{BD}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
设BD=5x，
则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′+B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得：x=$\frac{10}{13}$，
∴BD=$\frac{50}{13}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．