Question

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．
（1）求证：AD=BC；
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性质得出结论；
（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得?HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．

解答 证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，
∵AB∥CD
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，
在△ACD和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACD=∠BDC}\\{CD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDC（SAS），
∴AD=BC；

（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
∴HE∥AD，且HE=$\frac{1}{2}$AD，FG∥AD，且FG=$\frac{1}{2}AD$，
∴四边形HFGE为平行四边形，
由（1）知，AD=BC，
∴HE=EG，
∴?HFGE为菱形，
∴EF与GH互相垂直平分．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，菱形的判定及性质，综合运用平行四边形的性质及判定，全等三角形的性质与判定是解答此题的关键．