Question

12．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=6cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CBA与C、P、Q三点构成的三角形相似，求所需要的时间是多少秒？

Answer 1

分析 若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．

解答 解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{6}$=$\frac{t}{6-2t}$，解之得t=1.5；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，$\frac{6-2t}{t}$=$\frac{3}{6}$，解之得t=2.4；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜3，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.5或2.4秒．

点评 本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．