Question

7．已知a+$\frac{1}{a}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，则a⁵+$\frac{1}{{a}^{3}}$=$\frac{82\sqrt{3}}{9}$或$\frac{82\sqrt{3}}{27}$．

Answer 1

分析 将原等式两边都乘以a，将分式方程化为整式方程，解方程求得a的值，再代入计算可得．

解答 解：∵a+$\frac{1}{a}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴a²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a+1=0，
解得：a=$\sqrt{3}$或a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
当a=$\sqrt{3}$时，a⁵+$\frac{1}{{a}^{3}}$=（$\sqrt{3}$）⁵+$\frac{1}{（\sqrt{3}）^{3}}$=$\frac{82\sqrt{3}}{9}$，
当a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，a⁵+$\frac{1}{{a}^{3}}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）⁵+$\frac{1}{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{3}}$=$\frac{82}{27}$$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{82\sqrt{3}}{9}$或$\frac{82\sqrt{3}}{27}$．

点评 本题主要考查解分式方程和分式的求值能力，根据分式方程求得a的值是解题的关键．