Question

1．已知在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB=∠ADB=90°，AC平分∠BAD，AC交BD于E．
（1）如图1，若CD∥AB．直接写出$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$？
（2）当AE=2EC时，求证：△ABC≌△BAD；
（3）试探究AB与AD满足怎样的数量关系时，恰好使E为AC的中点？说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．如图1中，延长AD、BC交于点M，先证明AB=AM，再证明AD=DM即可．
（2）如图2中，延长AD、BC交于点M，作MN∥AC交BD的延长线于N，根据中位线定理证明AE=MN，再证明△ADE≌△MDN得AD=DM，进一步推出AB=AM=BM，由此即可证明．
（3）结论：AB=3AD．如图3中，延长AD、BC交于点M，作MN∥AC交BD的延长线于N，先证明MN=2AE，再由AE∥MN，得到$\frac{AD}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$=$\frac{1}{2}$，由此即可证明．

解答 （1）解：$\frac{CD}{AB}$=$\frac{1}{2}$．
理由：如图1中，延长AD、BC交于点M．
∵CA平分∠BAM，
∴∠CAB=∠CAM，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠CAM+∠M=90°，
∴∠CBA=∠M，
∴AB=AM，
∵AC⊥BM，
∴BC=BM，
∵CD∥AB，
∴AD=DM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$，
（2）如图2中，延长AD、BC交于点M，作MN∥AC交BD的延长线于N．
由（1）可知BC=CM，∵EC∥MN，
∴BE=EN，MN=2EC，
∵AE=2EC，
∴AE=MN，∠AED=∠N，
在△ADE和△MDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠MDN}\\{∠AED=∠N}\\{AE=MN}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MDN，
∴AD=DM，
∵BD⊥AM，
∴BA=BM，∵AB-=AM，
∴AB=BM=AM，
∴∠ABC=∠BAD=60°，
在△ABC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠ADB=90°}\\{∠ABC=∠BAD}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
△ABC≌△BAD．
（3）结论：AB=3AD．
理由：如图3中，延长AD、BC交于点M，作MN∥AC交BD的延长线于N．
由（2）可知MN=2EC，
∵AE=EC，
∴MN=2AE，
∵AE∥MN，
∴$\frac{AD}{DM}$=$\frac{AE}{MN}$=$\frac{1}{2}$，
∴DM=2AD，AM=3AD，
∵AB=AM，
∴AB=3AD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会辅助线的添加方法，属于中考常考题型．