Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠BDC交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为N．
（1）当∠CAD=∠ACD时，求证：DE∥AC；
（2）当点D运动到什么位置时，△BME与以C，N，E为顶点的三角形相似？求出此时AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，从而得出角的关系，再由∠CAD=∠ACD得到AD=CD，继而得出BD与AB的关系，即可求的结论．
（2）此题分两种情况求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根据相似三角形的性质即可求得．

解答：（1）证明：∵∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
∵DE是∠BDC的平分线，
∴∠BDC=2∠BDE，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC，

（2）解：（I）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE，
∴BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，
又∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴

BE

BC

=

BD

AB

即BD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=5，
∴AD=5，
（II）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN，
∴EN∥BD，
∵EN⊥CD，
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高，
由三角形面积公式得AB•CD=AC•BC，
∴CD=

24

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

18

5

，
综上，当AD=5或

18

5

时，△BME与△CNE相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．