Question

7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A（4，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，S_△ABC=28．点P从C出发沿CA向终点A运动，设P点坐标为（t，0）．
（1）求点C的坐标．
（2）连接BP，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，线段EF的垂直平分线交AC于点G，连接BG，延长EG，CF交于点Q，求OG的长．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式y=-x+4，令x=0得：y=4，于是得到B（0，4），根据已知条件S_△ABC=28，求得AC=14，即可得到结论；
（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，求出EG=QG，∠GCQ=∠EAG，根据AAS证△GCQ≌△GAE，推出CG=AG，求出GA=7，OG=3．

解答 解：（1）∵y=-x+4，
令x=0得：y=4，
∴B（0，4），
∵S_△ABC=28，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB，
∴AC=14，
∴OC=10，
∴C（-10，0）；

（2）连接EG并延长交直线CF于点Q，如图1，
∵CQ∥MG∥AE，ME=MF，
∴EG=QG，∠GCQ=∠EAG，
在△GCQ和△GAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCQ=∠EAG}\\{∠CGQ=∠AGE}\\{EG=GO}\end{array}\right.$
∴△GCQ≌△GAE，
∴CG=AG，
∴GA=$\frac{1}{2}$AC=7，
∴OG=GA-OA=7-4=3．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目综合性比较强，正确的作出图形是解题的关键．