Question

17．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC与点C，
（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；
（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，可得∠ADB=∠ABC=90°；然后根据∠ACB=60°，求出∠A的度数，即可求出BD的长是多少．
（2）首先连接OD，根据点E是线段BC的中点，判断出∠DBE=∠BDE；然后判断出∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，即∠ODE=∠OBE=90°，再根据DE过半径OD的外端，判断出DE是⊙O的切线即可．

解答 （1）解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ADB=∠ABC=90°，
∵∠ACB+∠CBD=∠A+∠ACB，
∴∠A=∠CBD=90°-∠ACB=90°-60°=30°，
∴BD=AB$•sin30°=10×\frac{1}{2}$=5．

（2）证明：如图1，连接OD．，
由（1），可得∠BDC=90°，
∵点E是线段BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}BC=BE$，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，
即∠ODE=∠OBE=90°，
又∵DE过半径OD的外端，
∴DE是⊙O的切线．

点评 （1）此题主要考查了切线的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．