Question

9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，点E、F分别是弦AD、DC上的点．
（1）若∠ABE=∠CBF，BE=BF．求证：BD是⊙O的直径．
（2）若$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，∠D=2∠EBF=90°，AE=ED=2．求DF的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABE≌△BCF，得到∠A=∠C，再根据圆内接四边形的性质，得到∠A+∠C=180°，由圆周角定理即可得到结论；
（2）首先证出四边形ABCD是正方形，如图2，延长DA到G，使AG=CF，推出△ABG≌△CBF△GBE≌△FBE，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC，
在△ABE与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠A=∠C，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径；

（2）解：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$，AB=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠D=90°，∠D+∠B=180°，
∴∠B=90°，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，
∵AE=ED=2，
∴AD=CD=4，
如图2，延长DA到G，使AG=CF，连接BG，EF，
在△ABG与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠GAB=∠C=90°}\\{AG=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CBF，
∴BG=BF，∠1=∠2，
∵∠EBF=45°，
∴∠2+∠ABE=45°，
∴∠1+∠ABE=45°，
∴∠GBE=∠EBF，
在△GBE与△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BF}\\{∠GBE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△FBE，
∴GE=EF，
设DF=x，则AG=CF=4-x，
∴EF=GE=4-x+2=6-x，
在R_t△EFD中，EF²=DE²+DF²，
∴（6-x）²=2²+x²
∴$x=\frac{8}{3}$，
∴DF=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，正方形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．