Question

1．（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，不用说明理由；
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；
（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．

解答 解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠FCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∠D=∠2-∠1=$\frac{1}{2}$（∠ACE-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．