Question

如图，在△ABC中，AC=BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB=6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．
（1）判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若cos∠A=

1

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OF，求出OF∥BD，根据等腰三角形性质求出CD⊥AB，推出OF⊥CD，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出BC，设半径为r，证△△CFO∽△CDB，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）CD与⊙O相切，                          
理由如下：连接OF，
∵AC=BC，CD平分∠ACB，
∴AD=BD=3，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠FBD，
∴∠OFB=∠FBD，
∴OF∥DB，
∴∠CFO=∠BDC=90°，
∴CD与⊙O相切；

（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠A=

1

3

在Rt△BDC中，cos∠ABC=

3

BC

=

1

3

，
∴BC=9，
∵OF∥DB，
∴△CFO∽△CDB，
设⊙O的半径是r，则

9-r

9

=

r

3

，
∴r=

9

4

，
即⊙O的半径是

9

4

．

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．