Question

19．如图，在半径为R的⊙O中，$\widehat{AB}$和$\widehat{CD}$度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为（用含有R的代数式表示）．（　　）

• A． R
• B． $\frac{1}{2}R$
• C． 2R
• D． 3R

Answer 1

分析 如解答图，作辅助线，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE=AB；利用等腰三角形性质证明DE=OE，因此CD-AB=CD-DE=CE=R．

解答 解：如图，

连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；
连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．
在CD上取一点E，使得CE=OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．
在△COE与△OAB中，
$\left\{\begin{array}{l}CO=OA=R\\∠OCE=∠AOB=36°\\ CE=OB=R\end{array}\right.$，
∴△COE≌△OAB（SAS），
∴OE=AB．
∵∠EOD=∠OEC-∠ODC=72°-36°=36°，
∴∠EOD=∠ODE，
∴DE=OE，
∴CD-AB=CD-OE=CD-DE=CE=R．
故选：A．

点评 此题考查了圆心角、弧、弦的关系、全等三角形、等腰三角形等知识，解题关键是添加辅助线，构造等腰三角形．