Question

9．已知ABCD为正方形，△AEF为等边三角形，求证：
（1）BE=DF；
（2）∠BAE=15°；
（3）2S_△ABE=S_△CEF．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明△ABE≌△ADF，可证明BE=DF；
（2）由（1）可得∠BAE=∠DAF，结合等边三角形和正方形的性质可求得∠BAE=15°；
（3）设BE=x，可表示出EF，利用AE=EF可列方程求得BE，可分别表示出S_△ABE和S_△CEF，可证明结论．

解答 证明：
（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF（HL），
∴BE=DF；
（2）由（1）可知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∠BAD=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=30°，
∴∠BAE=15°；
（3）设正方形的边长为1，BE=x，则CE=1-x，
在Rt△ABE中，可得AE²=AB²+BE²=1+x²，
在Rt△CEF中，可知CE=CF=1-x，由勾股定理可得EF²=CE²+CF²=2（1-x²），
∵AE=AF，
∴1+x²=2（1-x）²，解得x=2-$\sqrt{3}$或x=2+$\sqrt{3}$（舍去），
∴CE=1-x=$\sqrt{3}$-1，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•BE=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\sqrt{3}$）=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，S_△CEF=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）²=2-$\sqrt{3}$，
∴2S_△ABE=S_△CEF．

点评 本题主要考查正方形和等边三角形的性质，掌握正方形四边相等、四个角都是直角是解题的关键，注意方程思想的应用．