Question

18．如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

Answer 1

分析 （1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=60°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°；
（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE，则∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=60°-x，利用∠OEB=∠OCA得到30°+x=60°-x，解得x=15°，所以∠OCA=60°-x=45°．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°-∠B=60°，
而∠A=120°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
即∠EOC=30°；

（3）比值不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠AOF=2∠AOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，
∵∠OEB=∠AOE，
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，
而∠OCA=180°-∠AOC-∠A=180°-x-120°=60°-x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴30°+x=60°-x，
解得x=15°，
∴∠OCA=60°-x=60°-15°=45°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．