Question

1．已知二次函数y=x²-x-2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求△PQD周长的最大值；
（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M、N（M在N的上方），且MN=1，求PN+MN+AM的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先证明△PDQ是等腰直角三角形，推出PD最长时，△PDQ的周长最大，设P（m，m²-m-2），则D（m，m-2），可得PD=m-2-（m²-m-2）=-m²+2m=-（m-1）²+1，根据二次函数的性质即可解决问题．
（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′=MN=1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．求出直线AP′的解析式，求出点M、N的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）对于二次函数y=x²-x-2，令x=0得y=-2，令y=0，得x²-x-2=0，解得x=-1或2，
∴A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-2x-2．

（2）∵B（2，0），C（0，-2），
∴直线BC的解析式为y=x-2，OB=OC=2，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵PE⊥x轴，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠QDP=∠EBD=45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD最长时，△PDQ的周长最大，设P（m，m²-m-2），则D（m，m-2），
∴PD=m-2-（m²-m-2）=-m²+2m=-（m-1）²+1，
∵-1＜0，
∴m=1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时DQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△PDQ的周长的最大值为1+$\sqrt{2}$．

（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′=MN=1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．

由（2）可知P（1，-2），
∴P′（1，-1），∵A（-1，0），
∴直线AP′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴M（0，-$\frac{1}{2}$），N（0，-$\frac{3}{2}$），
∴AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PN=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AM+MN+PN的最小值为$\sqrt{5}$+1．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用两点之间线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．