Question

13．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（3，0），tan∠AOB=$\frac{4}{3}$．
（1）求k的值；
（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象恰好经过DC上一点E，且DE：EC=3：1，求直线AE的函数表达式；
（3）若直线AE与x轴交于点，N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系，写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在RtOAB中，由三角函数的定义可求得AB的长，则可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）可先求得E点坐标，由A、E的坐标，利用待定系数法可求得直线AE的函数表达式；
（3）延长DA交y轴于点F，由点的坐标，在RtAMF中和Rt△CEN中，利用勾股定理可分别求得AM和NE，可得出结论．

解答 解：
（1）∵在Rt△OAB中，OB=3，tan∠AOB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{OB}=\frac{4}{3}$，
∴AB=4，
∴A点的坐标为（3，4），
∴k=xy=12；
（2）∵DC由AB平移得到，DE：EC=3：1，
∴点E的纵坐标为1，
又∵点E在双曲线y=$\frac{12}{x}$上，
∴点E的坐标为（12，1 ），
设直线AE的函数表达式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}4=3k+b\\ 1=12k+b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{3}\\ b=5\end{array}\right.$，
∴直线AE的函数表达式为 y=-$\frac{1}{3}$x+5；
（3）结论：AM=NE．
理由：在表达式y=-$\frac{1}{3}$x+5中，令y=0可得x=15，令x=0可得y=5
∴点M（0，5），N（15，0 ）．
延长DA交y轴于点F，则AF⊥OM，且AF=3，OF=4，

∴MF=OM-OF=1，
∴由勾股定理得AM=$\sqrt{A{F^2}+M{F^2}}=\sqrt{{3^2}+{1^2}}=\sqrt{10}$，
∵CN=15-12=3，EC=1，
∴根据勾股定理可得EN=$\sqrt{C{N^2}+C{E^2}}=\sqrt{{3^2}+{1^2}}={\sqrt{10}^{\;}}$，
∴AM=NE．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、勾股定理等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，注意利用三角函数的定义，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中利用勾股定理分别求得AM和NE的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．