Question

7．直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A，B，点C（-1，a）是直线与双曲线y=$\frac{m}{x}$的一个交点，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，且△BCD的面积为1．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若在y轴上有一点E，使得以E，A，B为顶点的三角形与△BCD相似，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据△BCD的面积是1求出BD的值，进而得出B、D两点的坐标求出a的值，再把点C的坐标代入双曲线y=$\frac{m}{x}$的即可求出双曲线的解析式；
（2）把C点坐标代入直线y=kx+2即可得出k的值，进而得出直线AB的解析式，在解直线与双曲线解析式组成的方程组即可求出点E的坐标．

解答 解：（1）∵△BCD的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$BD×CD=$\frac{1}{2}$×BD×2即BD=2，
又∵点B是直线y=kx+2与y轴的交点，
∴点B的坐标为（0，2）．
∴点D的坐标为（0，4），
∵CD⊥y轴；
∴点C的纵坐标为4，即a=4，
∵点C在双曲线上，
∴将x=-1，y=4，代入y=$\frac{m}{x}$，得m=-4，
∴双曲线的解析式为y=-$\frac{4}{x}$；

（2）∵点C（-1，4）在直线y=kx+2上，
∴4=-k+2，k=-2，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．

联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，经检验，是方程组的解，
故E（2，-2）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式及三角形的面积，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键